2. EL JUICIO COMO CÉLULA FUNDAMENTAL DEL PENSAMIENTO

La lógica formal, analiza el juicio en tanto en cuanta premisa del razonamiento, es decir en relación tan solo  con la doctrina de la estructura de las demostraciones.

La esencia de la doctrina de Aristóteles sobre el juicio es la siguiente

La verdad o el error existen solo si hay afirmación  o negación.

La afirmación o negocio de algo  equivale a un juicio.

Solo con referencia al juicio, cabe plantear el problema de la verdad o falsedad

No significa algo, pero no son ni verdaderos ni erróneos  y por ello no contiene ningún juicio.

El juicio es verídico, si en el aparece unido, lo que está unido en la realidad y separado, lo que en ella está separado.

El juicio es falso si en el está unido lo que en la realidad está separado y separado lo que en ella figura unido.

Los lógicos idealistas, niegan el contenido objetivo del pensamiento, consideran el juicio como forma pura, totalmente indiferente a todo contenido y no solo al concreto, formulan concepto de la ¨función prepositiva ¨ que según ellos es una expresión que contiene uno o varias  variables, esta se convierte en juicio cuando las variables se sustituyen por constantes.

Según Rossell; las funciones del juicio pueden ser de tres clases: Verídicas con todos los significados del argumento o argumentos.

Falsas con todos los significados.

Verídicos con unos argumentos y falsas con otros.

Desde el punto de vista de la forma, el juicio se caracteriza por la estructura de  sujeto y predicado  que es general para todos los juicios y las proposiciones de tres términos, gracias a ello comprendemos la misma facilidad del pensamiento que el hombre de la antigüedad ha dejado en los monumentos.

Todo juicio tiene tres elementos:

a) Un concepto sujeto.

b) Un concepto predicado.

c) Una cópula. La forma lingüística de un juicio es la “proposición”

Clasificación de los Juicios:

Siguiendo la clasificación kantiana de los juicios, encontramos que pueden dividirse por su cantidad, por su cualidad, por la relación de la cópula y por su modalidad.

Los juicios, según su cantidad, pueden ser:

a) Universales, si toman al sujeto en toda su extensión;

b) Singulares, si el sujeto es un concepto individual y, como tal, toma al sujeto individual en toda su extensión.

Por eso, podemos incluir los juicios individuales entre los universales. Los juicios, según su cualidad o calidad, pueden ser:

a) Afirmativos, si el sujeto está incluido en el predicado;

b) Negativos, si el sujeto no está incluido en el predicado;

c) Indefinidos, si la inclusión no es clara porque niega la posibilidad de que el sujeto esté incluido fuera del predicado.

Este juicio puede llevar a la formulación de un juicio afirmativo.  Según la relación de la cópula, los juicios pueden ser:

a) Categóricos, si se refieren a la sustancia del concepto sujeto. No expresan limitaciones en la relación entre sujeto y predicado.

b) Hipotéticos, si se refieren a la relación de causa entre sujeto y predicado. Establecen una condición para que se de la relación.

c) Disyuntivos, si se refieren a la acción recíproca entre dos o más predicados.

Proponen una alternativa para que se dé la relación.  Según su modalidad, los juicios pueden ser:

a) Problemáticos, si expresan una posibilidad.

b) Asertóricos, si expresan una realidad del hecho.

c) Apodícticos, si expresan una relación necesaria.

De entre los juicios anteriores, nos interesan especialmente los “juicios categóricos”, pues son los que servirán para construir las relaciones fundamentales de los razonamientos.

Como sabemos que el juicio en sí no es observable, por suceder dentro de la mente, deberemos limitarnos al estudio de sus expresiones lingüísticas, es decir, de sus proposiciones. Por eso es que hablamos de “proposiciones categóricas”. Si observamos las variaciones posibles en la cantidad y en la cualidad de las proposiciones categóricas, encontraremos que existen cuatro tipos, a los que Copi llama “formas típicas” de las proposiciones categóricas. Cada una de estas formas típicas está simbolizada por una letra vocal mayúscula, tomada de las palabras latinas “affirmo” y “nego”, de la siguiente manera:

a) Universal y afirmativa               A

b) Universal y negativa                 E

c) Particular y afirmativa                I

d) Particular y negativa                 O

Toda proposición categórica de forma típica empieza por un “cuantificador”, es decir, una partícula que expresa cantidad (todo, algún, ningún); un “término sujeto”, que expresa un concepto sujeto; luego la “cópula”, que en el caso de la particular negativa va precedida de un “negador”; y un “término predicado”, que expresa un concepto predicado.

1.2 Proposiciones categóricas

Las proposiciones categóricas son aquéllas que hacen afirmaciones incondicionales. Por ejemplo, “todos los hombres son mortales” es una proposición categórica, mientras que “si tengo el día libre, voy a la playa” no lo es, ya que hay un condicionante para el hecho de ir a la playa: que tenga el día libre. La forma general de toda proposición categórica es la siguiente: cuantificador + sujeto + cópula + predicado Donde:

• El cuantificador determina si la proposición se refiere a todos los sujetos de un conjunto, a una parte de ellos o sólo a un elemento del conjunto.

• El sujeto es el conjunto o subconjunto de individuos o cosas de los que trata la proposición.

• La cópula (es decir, lazo) es el verbo que une al sujeto con el predicado. Tiene la doble función de llevar a cabo esta relación y de hacer posible el enunciado.

1.3 Calidad, Cantidad y Distribución de las proposiciones categóricas.

Las proposiciones categóricas, en cuanto a calidad, puede ser afirmativas o negativas. Son afirmativas cuando el predicado asigna al sujeto alguna característica o cualidad, por ejemplo: es estudiante, son voladoras. Son negativas cuando el predicado niega al sujeto la característica o cualidad, por ejemplo: no es estudiante, no son voladoras.

En cuanto a cantidad, las proposiciones categóricas pueden ser universales, particulares o singulares. Son universales cuando se refieren a la totalidad del conjunto de los sujetos. Son particulares cuando se refieren sólo a una parte del conjunto de los sujetos y son singulares cuando se refieren a sólo un miembro específico del conjunto de los sujetos.

De la combinación de estas cuatro categorías se obtiene lo que se conoce como las cuatro formas clásicas de las proposiciones categóricas:

a) Universal afirmativa, o tipo A.

b) Particular afirmativa, o tipo I.

c) Universal negativa, o tipo E.

d) Particular negativa, o tipo O.

Los nombres de las categorías A e I han sido tomadas del vocablo latino AFFIRMO, que significa afirmo. Estas vocales designan a las proposiciones afirmativas universales y afirmativas particulares, respectivamente. E y O, en cambio, han sido tomadas del vocablo latino NEGO, que significa niego. Estas vocales designan a
las proposiciones negativas universales y negativas particulares, respectivamente. Las proposiciones universales afirmativas.

Las proposiciones tipo A tienen la siguiente forma:

Todo S es P.

Donde S se refiere al conjunto o clase sujetos y P se refiere al predicado o a la clase predicados.

La denominación universal afirmativa es apropiada, porque la proposición afirma que hay una relación de inclusión entre las dos clases y, además, que la inclusión es completa o universal, es decir, que todos los miembros de S son también miembros de P.

Las proposiciones particulares afirmativas:

Las proposiciones tipo I tienen la siguiente forma:

Algún S es P.

Esta proposición se interpreta afirmando que al menos un miembro de la clase designada por S es también un miembro de la clase designada por P. Su denominación es apropiada porque la proposición afirma la presencia de una relación de inclusión entre las clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente, sino sólo parcialmente, únicamente de algunos miembros de la primera clase, de por lo menos un miembro de la clase S.

Las proposiciones universales negativas

Las proposiciones tipo E son aquellas que siguen la forma:

Ningún S es P.

El nombre universal negativa es apropiado porque la proposición niega que haya una relación de inclusión entre las dos clases y lo niega universalmente, ya que ninguno de los miembros de S es miembro de P, y viceversa.

Las proposiciones particulares negativas

Las proposiciones categóricas tipo O siguen la forma:

Algún S no es P.

Este tipo de proposiciones afirma que al menos un miembro de la clase designada por el término S está excluido de la clase designada por el término P.

Proposiciones singulares

Las proposiciones categóricas particulares son aquellas que se refieren a un sujeto específico o singular. Estas proposiciones se tratan igual que las universales, dado que relacionan al único elemento de S con la clase P. Por ejemplo:

•Juan es estudiante, es una proposición singular afirmativa.

•Luis no es nadador, es una proposición singular negativa.

 Ejemplos de proposiciones categóricas.

A continuación, veremos varios ejemplos de proposiciones y las clasificaremos de acuerdo a las categorías A, I, E y O, recién comentadas.

Ejemplo:

Se trata de la proposición:

Los políticos mienten por costumbre.

Esta proposición es de tipo verbal, pero puede transformarse en la siguiente proposición nominal:

Los políticos son mentirosos.

Que se entiende como una proposición universal de tipo A:

Todos los políticos son mentirosos.

Las proposiciones categóricas pueden diferir entre sí en la calidad, cantidad o en ambas, y con base en éstas diferencias se han construido un conjunto de inferencias inmediatas.

Los lógicos de otros tiempos dieron a este género de inferencias inmediatas el nombre de “oposición” y establecieron importantes relaciones entre los valores de verdad de los juicios que difieren en los aspectos mencionados.

Las proposiciones que difieren tanto en cantidad como en calidad se dice que son contradictorias. Las proposiciones universales que difieren sólo en calidad se dice que son contrarias. Las particulares que difieren en calidad son subcontrarias. Las que difieren en cantidad, pero no en calidad, están en relación de subalternación.

Reglas de oposición.

Ley de Contradictorias.- Dos proposiciones con un mismo sujeto y predicado, y que difieren tanto en la calidad como en la cantidad, son contradictorias; es decir, definen la relación de A con respecto de O, y de E con respecto de I, y viceversa. Ésta es la oposición mostrada con las líneas diagonales.

La Ley de Contradictorias establece que dos proposiciones contradictorias no pueden ser al mismo tiempo ni Falsas ni Verdaderas.

Ley de Contrarias.- Dos proposiciones son contrarias si son proposiciones universales que teniendo el mismo sujeto y el mismo predicado difieren en calidad; es decir, A respecto de E y viceversa. Ésta es la oposición mostrada por la línea horizontal superior.

La Ley de las Contrarias establece que dos proposiciones contrarias no pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas.

Ley de Subcontrarias.- Dos proposiciones son contrarias si son proposiciones particulares que teniendo el mismo sujeto y el mismo predicado difieren en calidad; es decir, I respecto de O y viceversa. Ésta es la oposición mostrada por la línea horizontal inferior.

La Ley de las Subcontrarias establece que dos proposiciones subcontrarias no pueden ser ambas falsas, pero pueden ser ambas verdaderas.

Ley de Subalternancia.- Son proposiciones subalternas aquéllas que teniendo el mismo sujeto y el mismo predicado, sólo difieren en cantidad y no en calidad, es decir, A con respecto a I, y E con respecto a O. La proposición universal se llama subalternante, la particular correspondiente se denomina subalterna.

La Ley de Subalternancia establece que de la verdad de la subalternante se infiere la verdad de la subalterna, pero de la falsedad de aquella no hay inferencia válida con respecto a ésta.

 

2.2 Simbolización y diagramas de las proposiciones típicas

Categoría Forma

Universal afirmativa, tipo A Todo S es P.

Particular afirmativa, tipo I Algún S es P.

Universal negativa, tipo E Ningún S es P.

Particular negativa, tipo O Algún S no es P.

Las leyes de oposición describen las relaciones entre estas categorías y nos permiten realizar inferencias inmediatas. Calidad, cantidad y distribución.

Proposiciones Categóricas de Forma Atípica

Las formas un poco rígidas A, E, I y O, no son las únicas en las que pueden expresarse las proposiciones categóricas.

Muchos silogismos categóricos contienen proposiciones en forma no típica. Para reducir estos razonamientos a forma típica es necesario traducir sus proposiciones componentes a forma típica. Describiremos ahora algunos de los métodos para traducir proposiciones de forma no típica a forma típica.

Debemos mencionar en primer término las proposiciones singulares, tales como "Sócrates es un hombre" y "Esta mesa no es una antigüedad". Estas proposiciones no afirman ni niegan la inclusión de una clase en otra, sino que afirman o niegan que un individuo o un objeto determinados pertenezcan a una cierta clase. Se acostumbra considerar las proposiciones", singulares como si ya estuvieran en forma típica, tratando las afirmativas como las universales afirmativas y las negativas como las universales negativas. El primer grupo de proposiciones categóricas que requieren traducción a forma típica es' el formado por las proposiciones que, en lugar de sustantivos o términos de clase, tienen adjetivos o frases adjetivales como predicados. Por ejemplo, " Algunas flores son hermosas" y "No hay ningún barco disponible para el servicio activo" se apartan de la forma típica, solamente en que sus predicados "hermosas" y "disponible pará servicio activo" se refieren a propiedades, en vez de referirse a clases.

Pero toda propiedad determina una clase, la clase de todas las cosas que tienen esa propiedad; así, a toda proposición de ese tipo le corresponde una proposición lógicamente equivalente que adopta la forma típica. A los dos ejemplos citados, ‘corresponden las preposiciones I y E Algunas flores son bellezas y no hay ningún barco de guerra que sea, una cosa disponible para el servicio activo, Si una proposición categórica está en forma típica, pero tiene un predicado adjetival en vez de un término de predicado, se puede hacer la traducción a forma típica remplazando el predicado adjetival por un término que designe la clase de todos los objetos de los cuales tal adjetivo puede predicarse verazmente.

Debemos considerar ahora las formulaciones de proposiciones categóricas en las cuales los verbos principales son distintos de la cópula de la forma típica ser. Ejemplos de este tipo son "Todos los hombres anhelan el reconocimiento de sus semejantes" y "Algunos hombres beben". El método común para traducir tales enunciados a la forma típica es considerar que, exceptuando el término sujeto y el cuantificador, designan una característica definitoria de una clase; luego se remplaza el verbo por una cópula típica y el predicado por un término que designe a la clase determinada por la mencionada característica definitoria de la clase. Así, los dos ejemplos citados se traducen a la forma típica por las siguientes proposiciones categóricas: Todos los hombres son seres deseosos de alcanzar el reconocimiento de sus semejantes y Algunos hombres son bebedores.

Otro tipo de enunciado que es fácil verter a la forma típica es aquel en el cual están todos los ingredientes de la forma típica, solo que no están ordenados de la manera propia de ésta. Dos ejemplos de este tipo son: "Los caballos de carrera son todos de pura raza" y "todo está bien si termina bien".

En tales casos debemos decidir cuál es el término sujeto y luego ordenar las palabras de modo que expresen una proposición categórica de forma típica. Es obvio que los dos enunciados precedentes pueden verterse en las proposiciones A Todos los caballos de carrera son de pura raza y Todas las cosas que terminan bien son cosas que están bien.

Las cantidades de muchas proposiciones categóricas no se hallan indicadas por los cuantificadores de forma típica ‘todos’, 'ningún' y 'algunos'. Los enunciados que contienen las palabras 'cada' y 'cualquier' pueden traducirse fácilmente.

Las proposiciones 'A cada chancho le llega su San Martín' y 'Cualquier contribución será bien recibida' se puede traducir:

Todos los chanchos son seres a los que les llega su San Martín, y Todas las contribuciones son cosas que se reciben bien. Similares a 'cada' y 'cualquier' son 'cada cosa' y 'cualquier cosa', y paralelas a éstas, pero claramente 'restringidas a clases de personas, son 'cada uno', 'cualquiera', 'quienquiera', 'quien', 'aquel que', etc. Estas palabras no pueden originar ninguna dificultad. También los artículos gramaticales 'un' y 'el' pueden servir para indicar cantidad. El primero, en algunos contextos significa todos y en otros significa algunos. Así, "Un murciélago no es un ave" y "Un elefante es un paquidermo" deber; interpretarse como Todos los murciélagos son no-aves ( o ningún murciélago es un ave) y Todos los elefantes son paquidermos. Pero, "Un murciélago entró por la ventana" y "Escapó un elefante" obviamente no se refieren a todos los murciélagos o a todos los elefantes; su traducción más adecuada sería Algunos murciélagos son seres que entraron por la ventana y Algunos elefantes son seres que escaparon.

La palabra 'el' (o 'la', o 'los', o 'las') puede usarse para referirse a un individuo particular o a, todos los miembros de una clase. Pero, en este caso hay muy poco o ningún riesgo de caer en la ambigüedad. Pues un enunciado como "La ballena es un mamífero" se traduce en casi todos los contextos como la proposición A Todas las ballenas son mamíferos, mientras que la proposición singular El primer presidente fue un héroe militar se halla ya en forma típica como proposición A. Las proposiciones categóricas que contienen las palabras 'solamente' o 'nadie más que' suelen llamarse proposiciones 'exclusivas', porque en general afirman que el predicado se aplica exclusivamente al sujeto nombrado. Son ejemplos de tales proposiciones: "Solamente los ciudadanos pueden votar" y "Nadie más que los valientes merecen la doncella", que son traducibles a las proposiciones categóricas de forma típica: Todos los que pueden votar son ciudadanos y Todos los que merecen la doncella son aquellos que son valientes. Las llamadas proposiciones exclusivas, que comienzan con 'solamente' o 'nadie más que', son traducibles a proposiciones A cuyos términos sujeto y predicado son los términos predicado y sujeto, respectivamente, de la proposición exclusiva. Hay contextos en los cuales 'Solamente S es P' o 'Nadie más que S es P' quieren significar, no simplemente que Todo p es S, sino también que Todo S es p o que Algún S es Po Sin embargo, no siempre ocurre así. Allí donde el contexto contribuye a determinar el significado, debe tomárselo en consideración, naturalmente; pero, en la ausencia de tal información adicional, las traducciones apropiadas son las que hemos indicado.

Algunas proposiciones categóricas no contienen palabras para indicar la cantidad, por ejemplo, "Se prohíbe entrar con, perros" y "Hay niños presentes". Donde no hay cuantificadores puede ser dudoso lo que el enunciado pretende expresar y solo podemos determinar su significado -examinando el contexto en el cual aparece. Sin embargo, los dos ejemplos citados son bastante claros. El primero probablemente se refiere a todos los perros, mientras que el segundo es más probable que se refiera solamente a algunos niños. Sus traducciones a forma típica son: Todo S los perros son seres con los que no se puede entrar y Algunos niños son seres que están presentes.

Debemos examinar ahora brevemente algunas proposiciones que no se asemejan para nada a las proposiciones categóricas de forma típica, pero que pueden ser traducidas a ellas.

Ejemplos de ellas son: "No todos los niños creen en Papá Noel", "Hay elefantes blancos", '"No hay elefantes rosados" y Nada puede ser al mismo tiempo redondo y cuadrado". Si reflexionamos un momento sobre estas proposiciones, concluiremos que se las puede traducir a las siguientes proposiciones de forma típica, a las cuales son lógicamente equivalentes:

Algunos niños no son creyentes en Papá Noel, Algunos elefantes son blancos, Ningún elefante es rosado y Ningún objeto redondo es también un objeto cuadrado.

Debemos observar que muchas proposiciones indican la cantidad de manera más explícita de lo que lo hacen las proposiciones de forma típica. Se realiza la especificación mediante el uso de cuantificadores numéricos o casi-numéricos, tales como 'uno', 'dos', 'tres', 'muchos', 'pocos', 'la mayoría " 'casi todos', etc. Pero los razonamientos cuya validez depende de datos numéricos o casi-numéricos .son silogísticos, y exigen un análisis más penetrante que el suministrado por la teoría simple del silogismo categórico. Todo silogismo categórico que contenga proposiciones numéricas o casi-numéricas de este tipo, no altera su validez o su invalidez cuando se traducen esas proposiciones a forma típica de manera tal que sus aspectos numéricos o casi-numéricos simplemente se dejan de lado. Así, para todos los propósitos relacionados con el silogismo categórico, podemos traducir "Había un estudiante en el baile", "Había dos estudiantes en el baile", etc., y "Había pocos estudiantes en el baile", "Había muchos estudiantes en el baile" y "La mayoría de los estudiantes estaban en el baile" indistintamente como: Algunos estudiantes son personas que estaban en el baile; Sin embargo, algunos cuantificadores casi-numéricos no pueden traducirse de manera tan simple, entre otros: 'casi todos', 'no todos', 'todos excepto unos pocos'. 'casi cada uno'.

Las proposiciones en las cuales aparecen estas expresiones como cuantificadores son proposiciones 'exceptivas', que hacen dos afirmaciones en vez de una. Son del mismo tipo que las proposiciones explícitamente exceptivas, tales como: “Todos son elegibles excepto los empleados", "Menos los empleados, todos son elegibles" y "Solamente los empleados no son elegibles", Cada una de estas proposiciones lógicamente equivalentes afirma, no solamente que Todos no son elegibles, sino también que Ningún empleado es elegible. Si ponemos 'S' en lugar de 'empleados' y 'P' en lugar de 'personas elegibles', podemos escribir estas dos proposiciones así: Todo no-S es p y Ningún. S es P. Es indudable que estas proposiciones son independientes y conjuntamente afirman que las clases S y p son complementarias.

Cada una de estas proposiciones exceptivas es compuest
a y, por tanto, no pueden ser traducidas a una proposición categórica de forma típica simple, sino más bien a una conjunción explícita de dos proposiciones categóricas de forma típica.

Así, las tres proposiciones acerca de la elegibilidad se traducen idénticamente a: Todos los no- empleados son personas elegibles y Ningún empleado es una persona elegible. Las siguientes proposiciones exceptivas con cuantificadores casi-numéricos son, también, compuestas: "Casi todos los estudiantes estaban en el baile", "No todos los estudiantes estaban en el baile". "Excepto unos pocos, todos los estudiantes estaban en el baile", "Solamente algunos estudiantes estaban en el baile".

Cada una de estas proposiciones afirma que algunos - estudiantes estaban en el baile y niega que Todos los estudiantes estuvieran en el baile. La información casi-numérica que presentan carece de importancia desde el punto de vista de la inferencia si logística y se traducen todas indistintamente como Algunos estudiantes son, personas que estaban en el baile y Algunos estudiantes no son personas que estaban en el baile.

Las proposiciones exceptivas pueden aparecer, y efectivamente aparecen, en razonamientos silogísticos del lenguaje ordinario. ¿Cómo se puede determinar la validez o invalidez de un silogismo categórico que contiene una proposición exceptiva? Ello depende de la posición que tenga dentro del razonamiento la proposición exceptiva. Si es una premisa, entonces puede someterse el razonamiento a dos pruebas separadas.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente razonamiento: "Todos los que vieron el partido estuvieron en el baile; no todos los estudiantes estuvieron en el baile; luego, algunos estudiantes no vieron el partirlo", Su primera premisa y su conclusión son proposiciones categóricas que pueden traducirse fácilmente a forma típica. Pero su segunda premisa, por ser una proposición exceptiva, no es simple sino compuesta. Para saber si las premisas implican o no la conclusión, primeramente debemos someter los métodos de prueba al silogismo formado por la primera premisa del razonamiento dado, la primera mitad de su segunda premisa y su conclusión. Reducidas las proposiciones a la forma típica, tenemos:

Todas la" personas que vieron el partido son personas que estuvieron en el baile. Algunos estudiantes son personas que estuvieron en el baile.

Por tanto, algunos estudiantes no son personas que vieron el partido.

Este silogismo categórico de forma típica es de la forma AIO-2 y viola la regla 2, ya que incurre en la falacia del Término medio no distribuido. Pero aún no se ha demostrado que el razonamiento original no sea válido, pues el silogismo examinado sólo contiene parte de las premisas del razonamiento original. Debemos ahora analizar el silogismo formado por la primera premisa y la conclusión del razonamiento original, juntamente con la segunda mitad. de la segunda premisa. Reducido todo a forma típica, tenernos:

Todas las personas que vieron el partido son personas que estuvieron en el baile. Algunos estudiantes no son personas que estuvieron en el baile.

Por tanto, algunos estudiantes no son personas que vieron el partido. Este silogismo categórico de forma típica es de forma diferente, A00-2, y se ve fácilmente que es válido. Por consiguiente, el razonamiento original es válido, pues la conclusión es la misma y las premisas del razonamiento original incluyen las premisas de este silogismo de forma típica válido. Así pues, para determinar si es o no válido un silogismo de forma no-típica, una de cuyas premisas es una proposición exceptiva, puede ser necesario someter a una prueba de validez a dos silogismos categóricos de forma típica diferentes. Si las premisas de un razonamiento son ambas proposiciones categóricas y su conclusión es una proposición exceptiva, sabemos que no es válido, pues aunque las dos premisas categóricas puedan implicar una u otra mitad de la conclusión compuesta, no pueden implicarlas a ambas. Finalmente, si un razonamiento contiene proposiciones exceptivas como premisas y como conclusión, para saber si es o no válido puede ser necesario someter a prueba todos los silogismos que se puedan construir sobre la base del razonamiento original. Las explicaciones dadas bastan para permitir al estudiante resolver con éxito tales problemas.

Es importante adquirir cierta facilidad para traducir proposiciones de forma no-típica a forma típica, pues los métodos que hemos expuesto para determinar si un silogismo es O no válido, solo pueden aplicarse a silogismos categóricos de forma típica.